Линейное пространство общего вида - Математический форум Math Help Planet

Пусть множество элементов произвольной природы, для которых определены операции сложения и умножения на действительное число:. Будем называть множество линейным пространствомесли для всех его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число и для любых элементов и произвольных чисел справедливо: Равенства называют аксиомами линейного пространства. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в заданном базисе. Говорят, что элемент вектор линейного пространства линейно выражается через элементы векторыесли его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов, то есть представить в виде.

Если любой вектор системы векторов линейного пространства линейно выражается через остальные векторы системы, то система векторов называется линейно зависимой. Если в линейном пространстве существует линейно независимая система из векторов, а любая система из -го вектора линейно зависима, то число называется размерностью пространства и обозначается. В этом случае пространство называют -мерным линейным пространством или -мерным векторным пространством.

Любая упорядоченная линейно независимая система векторов линейного пространства образует базис пространства и любой вектор единственным образом выражается через векторы базиса: Числа называют координатами вектора в базисе и обозначают. При этом для любых двух произвольных векторов -мерного линейного пространстваи произвольного числа справедливо: Изоморфизм -мерных линейных пространств пространству означает, что соотношения между элементами -мерного линейного пространства и операции с ними можно изучать как соотношения между векторами из и операции с ними и что всякое утверждение относительно векторов из справедливо для соответствующих элементов любого -мерного линейного пространства.

Для векторов из это означает, что они образуют базис в тогда и только тогда, когда отличен от нуля определитель матрицы, столбцами которой являются компоненты векторов. Пусть и -- два базиса. Матрицей перехода от базиса к базису называется матрицастолбцами которой являются координаты векторов в базисе:. Вектор линейно выражается через векторы обоих базисов. Пусть -- прямоугольная матрица размерности:. Столбцы матрицы можно рассматривать как векторы из:. Исследовать систему векторов на линейную зависимость -- это значит установить является система векторов линейно зависимой или.

Доказано, что ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы. Это утверждение позволяет исследовать систему векторов на линейную зависимость следующим образом. Пусть -- исследуемая система векторов. Запишем матрицустолбцами которой являются векторы: Еслито исследуемая система векторов линейно независима, если жето она линейно зависима. Более того, если матрица приведена к ступенчатому виду элементарными операциями со строками. Исследование на линейную зависимость систем векторов.

Выделение линейно независимой подсистемы векторов. Линейное пространство называется евклидовымесли каждой паре векторовиз этого пространства поставлено в соответствие действительное числоназываемое скалярным произведениеми при этом для любых из и любого действительного числа справедливы следующие равенства:.

Система векторов евклидова пространства называется ортонормированнойесли векторы системы попарно ортогональны имеют единичную длину. Базис конечномерного евклидова пространства называется ортонормированным базисомесли образующие его векторы попарно ортогональны имеют единичную длину.

Поскольку доказано, что в любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базисбудем рассматривать в -мерном евклидовом пространстве только ортонормированные базисы. Тогда для любыхиз справедливы формулы:. Все евклидовы пространства размерности устроены так же, как пространство. Величиныи характеризуют взаимное расположение векторов и не зависят от выбранного ортонормированного базиса. Скалярное произведение векторов, норма вектора, угол между векторами.

Линейная алгебра. Занятие 6. Линейное пространство. Основные понятия. Теоретическая справка

Дата последнего обновления информации на сайте: Действия с матрицами 2. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений 4. Общая теория систем линейных уравнений. Основные понятия Пусть множество элементов произвольной природы, для которых определены операции сложения и умножения на действительное число: Координаты вектора в заданном базисе Говорят, что элемент вектор линейного пространства линейно выражается через элементы векторыесли его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов, то есть представить в виде.

Матрицей перехода от базиса к базису называется матрицастолбцами которой являются координаты векторов в базисе: Нахождение координат вектора в новом базисе.

Линейные пространства

Ранг матрицы Пусть -- прямоугольная матрица размерности: Столбцы матрицы можно рассматривать как векторы из: Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы Линейное пространство называется евклидовымесли каждой паре векторовиз этого пространства поставлено в соответствие действительное числоназываемое скалярным произведениеми при этом для любых из и любого действительного числа справедливы следующие равенства: Тогда для любыхиз справедливы формулы: Научно-практический журнал "Exponenta Pro.

Приглашаем преподавателей к участию в конкурсе ИТ-Прорыв! Элементарная теория линейных операторов Список курсов ВМ. На первую страницу О проекте Сотрудничество Обратная связь e-mail.